Séptimo Grado

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA, REPARTOS PROPORCIONALES, INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO, PORCENTAJES

Regla de tres simple

Antes de mostrar la regla de tres simple, debes recordar las nociones relacionadas a magnitudes directa e inversamente proporcionales.

 

Magnitudes directamente proporcionales

Analicemos la siguiente situación.

 

Situación

Marcos elabora una lista con los precios de arroz por kilogramos para su bodega. Observa:

Ahora, responde las siguientes preguntas:

¿Cuánto costarán 8kg, de arroz?

8kg de arroz costará 24,00 dólares

¿Se puede afirmar que, si el peso se duplica, el precio también se duplica?

Es correcto. Por ejemplo, el precio de 2 kg de arroz es 6,00 dólares, mientras 4kg de arroz es 12,00 dólares.

¿Cuál es la relación entre el peso y el precio del arroz?

Se observa que, al aumentar el peso, el precio también aumenta. Es más, se puede plantear una relación proporcional entre el peso y el precio del arroz.

Si analizamos la tabla, podemos afirmar que, si el peso aumenta, entonces el precio también aumenta en la misma proporción. Es decir, hay una relación directa de dependencia que se puede plantear como una razón entre dos magnitudes, en este caso el peso y el precio.

Así, cuando el cociente entre dos magnitudes es constante, se afirma que las magnitudes son directamente proporcionales.

 

Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa es un procedimiento que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas, que en conjunto forman una proporción de dos razones.

Veamos algunos ejemplos:

 

Ejemplo 1

Marcos es comerciante de telas. En su tienda ofrece 3 metros de tela satinada por 12 dólares. ¿Cuál es el costo de 7,5 metros de esta tela?

Solución

En esta situación se observa que, a mayor cantidad de tela, mayor será la cantidad de dinero por pagar. Por tanto, la cantidad de tela y el monto de dinero que se debe pagar por dicha cantidad son magnitudes que varían en forma directamente proporcional.

Finalmente, por 7.5 metros de tela, se tendrá que pagar 30 dólares.

 

Ejemplo 2

Para preparar un plato de comida para 32 personas que asistirán a un evento, se necesitan 4 kg de patatas. Si la mitad de las personas avisan que van a asistir acompañados de sus parejas, ¿cuántos kilogramos de patatas se necesitarán?

 

Solución

Observa que, en esta situación, a mayor cantidad de personas, mayor será la cantidad de patatas para preparar el plato de comida. Por tanto, la cantidad de personas invitadas al evento y los kilogramos de patatas son magnitudes directamente proporcionales.

Ahora, considerando la información propuesta en la situación, planteamos la siguiente tabla:

Finalmente, para las 48 personas que asistirán al evento, se necesitarán 6 kilogramos de patatas.

 

Magnitudes inversamente proporcionales

Analicemos la siguiente situación:

 

Situación

Cinthia maneja su automóvil y para tener un mejor consumo de combustible hace los cálculos y elabora una tabla que relaciona la velocidad con que circula desde el trabajo a su casa y el tiempo que demora.

Analiza la tabla y luego responde las siguientes preguntas:

¿Si la velocidad es 5 km/h, cuánto tiempo demora?

Demora 20 horas.

¿Se puede afirmar que, si la velocidad se duplica, el tiempo disminuye a la mitad? 

Es verdad. Por ejemplo, si la velocidad es 10 km/h y se duplica a 20 km/h el tiempo que emplea disminuye de 10 horas a 5 horas.

¿Cuál es la relación la velocidad y el tiempo? 

Si la velocidad aumenta, el tiempo disminuye. Es más, se puede plantear una relación inversamente proporcional entre la velocidad y el tiempo.

Si analizamos la tabla, podemos afirmar que, si la velocidad aumenta, el tiempo disminuye en relación inversa. Observa que existe un producto constante entre la velocidad y el tiempo:

Así, cuando el producto entre los valores de dos magnitudes es constante, se afirma que las magnitudes son inversamente proporcionales.

 

Regla de tres simple inversa

La regla de tres simple inversa es un procedimiento que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas que en conjunto forma una proporción de dos razones.

Veamos algunos ejemplos:

 

Ejemplo 1

Carlos y Alberto son pintores con la misma habilidad y calculan que necesitan 9 días para pintar la fachada de una casa de dos pisos. Para hacer el trabajo más rápido, contratan a un obrero igual de eficiente que ellos dos. ¿Cuántos días emplearán los tres obreros en pintar la fachada de dicha casa?

 

Solución

Luego de leer con atención la información propuesta, puedes darte cuenta que la cantidad de obreros y el tiempo que tardan en pintar una casa son magnitudes inversamente proporcionales.

Así, planteamos la relación:

Finalmente, los 3 obreros pintarán la fachada de la casa en 6 días.

 

Ejemplo 2

Un caño que vierte 4 litros de agua por minuto demora 2 horas en llenar un depósito. ¿Cuántas horas tardará en llenar el mismo depósito un caño que vierte 8 litros por minuto?

 

Solución

De la situación se observa que, a mayor capacidad de verter agua, menor será el tiempo necesario para llenar el depósito. Por tanto, la cantidad de litros por minuto y el tiempo de llenado del depósito son magnitudes inversamente proporcionales.

Planteamos la relación:

Finalmente, si el caño vierte 8 litros de agua por minuto, el depósito se llenará en una hora.

 

Regla de tres compuesta

En algunas situaciones se evidencia la relación entre tres o más magnitudes, las cuales pueden ser directa o inversamente proporcionales. En estas situaciones, primero se deben identificar las relaciones entre las magnitudes con la incógnita, es decir, con la magnitud desconocida y luego, determinar la correspondencia entre ellas.

 

Veamos algunos ejemplos:

 

Ejemplo 1

En la panadería "Más sabor" laboran 9 personas que, trabajando 8 horas, producen 150 pasteles de manzana. ¿Cuántas horas necesitan 12 trabajadores de igual eficiencia, para producir 375 pasteles de manzana?

 

Solución

Como se señaló previamente, primero debemos identificar las magnitudes presentes en la situación, las cuales son:

Cantidad de trabajadores.

Tiempo de elaboración de los pasteles.

Cantidad de pasteles de manzana.

Analizando estas 3 magnitudes, notamos que la magnitud "tiempo de elaboración" es la incógnita que:

Es inversamente proporcional a "la cantidad de trabajadores" ya que a mayor cantidad de trabajadores, tomará menos tiempo la producción de los pasteles.

Es directamente proporcional a la "cantidad de pasteles", puesto que a mayor cantidad de trabajadores, más pasteles se podrán producir.

Podemos resumir la información de la situación en la siguiente tabla.

Por tanto, el tiempo que necesitan 9 trabajadores para preparar 375 pasteles de manzana es de 15 días.

 

Ejemplo 2

En la construcción de un edificio, se observó que 16 obreros realizan ¼ de una obra en 8 días. Si se contratan 8 obreros más para terminar la construcción en las mismas condiciones, ¿en cuántos días la nueva cantidad de obreros terminará la obra?

 

Solución

Como en el caso anterior, primero debemos identificar las magnitudes presentes en la situación, las cuales son:

Cantidad de obreros.

Parte del avance de la obra.

Cantidad de días.

Analizando estas 3 magnitudes, notamos que la magnitud "cantidad de días" es la incógnita, que:

Es inversamente proporcional a la cantidad de obreros. Es decir, a mayor cantidad de obreros, menor cantidad de días se necesitarán para terminar la obra.

Es directamente proporcional a la parte del avance de la obra, puesto que, a mayor cantidad de días, más parte de la obra se podrá avanzar.

Podemos resumir la información presente en la situación en la siguiente tabla.

Por tanto, con 8 obreros más, tardarán 16 días en completar la obra.

Repartos proporcionales: directos e inversos

Otro ámbito de la proporcionalidad son los denominados repartos proporcionales, es decir, cuando se quiere repartir una cantidad de formar proporcional, ya sea directa o inversa, entre diversas partes.

Ejemplo

En este punto hay que citar otra propiedad importante de las proporciones, y es que:

Es decir, en una proporción, al sumar los numeradores y los denominadores de las fracciones que la integran se obtiene una nueva fracción que es proporcional a cualquiera de las implicadas.

Ejemplo

El ejemplo anterior es un caso claro de reparto directamente proporcional, puesto que los nietos con más edad reciben más dinero y viceversa. Pero:

¿Qué ocurriría si el abuelo decidiese repartir el dinero de forma inversamente proporcional a la edad de los nietos?

Pues que cuanta más edad menos dinero recibirán y viceversa, por lo que es necesario elaborar una relación que siga esta premisa.

En este punto ya se pueden realizar los repartos correspondientes a cada nieto.

En los problemas de repartos proporcionales es habitual que la cantidad total a repartir sea desconocida, pero en estos casos se dan pistas para averiguarla.

Ejemplo

Interés simple y compuesto

El interés simple es aquel que no se suma al capital inicial una vez que ha vencido el plazo de la inversión o crédito.

El interés compuesto es aquel que se suma al capital inicial al término de la inversión o crédito.

La diferencia entre interés simple e interés compuesto es que el simple no es capitalizable, mientras que el compuesto ayuda a incrementar el capital inicial.

¿Qué es el interés? 

Antes de comprender la diferencia entre interés simple y compuesto, es importante conocer el concepto de interés en el mundo de ls finanzas.

El interés es una cantidad de dinero que se genera en un período de tiempo durante el cual se mantiene una inversión, ahorro o préstamo. Es decir, es la rentabilidad que produce el capital inicial. Se expresa en porcentajes y se calcula anualmente.

 

¿Qué es el interés simple?

Es aquel interés que es calculado y pagado sobre el capital inicial durante cierto período. Al vencerse dicho lapso, los intereses generados no son considerados para ser reinvertidos en el capital, por lo que este se mantiene igual.

En la práctica, esto significa que, al vencerse el plazo de una inversión, ahorro o préstamo, el interés generado no es considerado capitalizable y (si la persona o empresa así lo desea) comienza un nuevo período de inversión o crédito que generará el mismo interés sobre el mismo capital.

En el caso de los créditos, el interés simple solo aplica cuando el deudor paga dichos intereses dentro del período acordado. De lo contrario, comienza a generarse un interés compuesto.

 

Características del interés simple

El interés simple tiene tres características esenciales:

El capital no va a variar en el período que dure la operación (30 días, 60 días, 90 días, etc.)

Cada vez que inicie un nuevo período de inversión o crédito, el interés se mantendrá igual.

El interés se calcula y se paga sobre el capital inicial.

 

Elementos del interés simple

Para calcular el interés simple, se requieren 4 componentes:

C: capital inicial.

i: interés aplicado al capital inicial (se expresa dividiendo la tasa de interés entre 100).

t: tiempo o período de la inversión o crédito (expresado en años, meses o días).

I: interés pagado (o cobrado, si es un crédito) al vencimiento del período.

 

Fórmula para calcular el interés simple

Conociendo los elementos que componen el interés simple, es posible calcular cuánto generaría sobre un capital inicial en un período determinado. La fórmula a utilizar sería la siguiente:

I= C x i x t

El interés pagado es igual al capital inicial, multiplicado por el interés aplicado a dicho capital, por el tiempo de inversión.

 

Ejemplo de cálculo de interés simple

Para calcular el interés pagado que se generaría sobre un capital de 100.000 pesos a una tasa del 5% durante un período de 2 años, la fórmula se aplicaría de la siguiente forma:

I= 100.000 x 0,05 x 2

I= 10.000

En un plazo de dos años, y con un interés del 5%, un capital de 100.000 pesos generaría un interés pagado (o ganancia) de 10.000 pesos.

 

¿Qué es el interés compuesto?

Es el interés que se genera sobre el capital una vez que se ha cumplido el límite de tiempo establecido para el ahorro, la inversión o el préstamo, y que al vencerse dicho plazo pasa a formar parte del capital inicial.

Esto significa que, en el caso de las inversiones o planes de ahorro, las ganancias generadas son sumadas al capital, y si comienza un nuevo período, el interés será calculado sobre el base de este nuevo capital (capital anterior más los intereses generados).

Mientras que, en el caso de los préstamos o créditos, el interés generado pasa a formar parte de la deuda acumulada.

 

Características del interés compuesto

El interés compuesto tiene 3 elementos que lo definen:

Como los intereses se van sumando al capital en cada período, este va aumentando.

Los intereses son cada vez mayores en cada período.

En cada nuevo período de inversión o crédito, el interés se calcula en base al capital actual.

 

Elementos del interés compuesto

Como en el interés compuesto el capital final varía en cada período, esto debe ser contemplado en el cálculo del interés pagado o ganancia. En este caso, los elementos para el cálculo de la fórmula, son los siguientes:

Cf: capital final

Ci: capital inicial

i: intereses (se expresa dividiendo la tasa de interés entre 100, y luego dividiendo el resultado entre 12 meses).

t: tiempo o período de la inversión (expresado en años, meses o días)

 

Fórmula del interés compuesto

En la fórmula del interés compuesto, el elemento tiempo se representa de forma exponencial.

Cf= Ci (1+i)ᵗ

 

Ejemplo de cálculo de interés compuesto

Para calcular el interés pagado que se generaría sobre un capital de 80.000 pesos a una tasa del 15% durante un período de 2 meses, la fórmula se aplicaría de la siguiente forma:

Cf= 80.000 (1+0,0125)²

Cf= 82.012,5

En un período de dos meses de inversión, el capital inicial se incrementó 2.012,5 pesos con una tasa del 15%.

Porcentajes

 

El porcentaje es un símbolo matemático que representa una cantidad dada, como una fracción de 100 partes iguales. Se utiliza para establecer relaciones entre dos cantidades y se establece colocando el símbolo “%”, que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación. Calcular un porcentaje es sencillo, e incluso hay varias maneras.

 

Fórmula para sacar un porcentaje

Para determinar el porcentaje de un número hay que seguir los siguientes pasos básicos:

1- Multiplicar el número por el porcentaje. Por ejemplo, si quiero saber el 32 % de 517, debo multiplicar ambas cifras (Ej: 32 x 517 = 16544).

2- Luego hay que dividir el resultado por 100. Se hace simplemente moviendo el punto decimal dos lugares hacia la izquierda (Ej: 16544/100=165,44).

3- Se redondea a la precisión deseada (Ej: 165,44 redondeado al número entero más próximo, 165). Es decir, el 32 % de 517 es 165.

También se puede realizar el cálculo de porcentaje de estas otras dos maneras:

32 / 100 x 517= 165,44

517 / 100 x 32= 165,44

Videos Apoyo a los Temas de Regla de Tres, Repartos e Interés