Octavo Grado

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Pero entonces que es ser semejante, miremos la siguiente figura:

Como podemos ver cada Snoopy es igual al otro, pero lo único que cambia es su tamaño, al decir que es igual decimos que es semejante, pero como su tamaño es diferente, pero conserva las mismas características decimos que es proporcional.

Triángulos congruentes

Antes de seguir quiero aclararles otro termino que es congruencia y para ello miremos el siguiente dibujo:

En geometría cuando tenemos dos figuras iguales, les decimos que son congruentes.

Podríamos tener dos triángulos congruentes y claro todos los triángulos congruentes son iguales ya que poseen la misma forma y las mismas medidas.

Criterios de congruencia de triángulos

Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de casos de semejanza de triángulos, o también:

Criterios de Semejanza de Triángulos

I. Primer criterio

Dos triángulos que tienen los tres ángulos iguales son semejantes entre sí.

A partir de estos triángulos puedes ver que son triángulos semejantes. Observa que la medida de los ángulos, son constantes (iguales).

Ejemplos

1.- Observa el valor de los ángulos de estos dos triángulos. (Los matemáticos dicen de esta singular forma de superponer triángulos que están en posición de Tales, en honor al sabio griego Tales de Mileto)

Compara ahora el triángulo total, A’B’C’, con el más pequeño formado en su interior, ABC.

¿Podemos decir que son iguales dos a dos? Claro, ya que todos sus ángulos son iguales de a pares, B con B’ y así con los demás.

¿Son semejantes estos triángulos? Si

¿Por qué? Porque sus ángulos son los mismos.

2.- Sabemos que los ángulos de un triángulo SUMAN necesariamente 180º.

Si tenemos dos triángulos que tienen dos de sus ángulos iguales,

¿cómo será el tercer ángulo?

¿Son semejantes estos triángulos? Si

¿Por qué? Porque volvemos a obtener dos triángulos con los tres ángulos iguales.

3.- Triángulos equiláteros son aquellos que tienen sus ángulos y lados iguales, como el que ves en esta figura:

Si tenemos dos triángulos equiláteros de diferente tamaño, con lo que ya sabes responde a las preguntas ¿cómo serán sus ángulos?

¿Son semejantes estos triángulos?

¿Por qué?

II. Segundo criterio

Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí.

El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza, y en el caso anterior podemos ver que las medidas del primero son el doble de las del segundo, una relación de 2:1, o si dividimos los lados del grande entre los del pequeño A÷A’, B÷B’ y C÷C’ obtendremos que: 6/3 = 6,4/3,2 = 5/2,5 = 2, entonces decimos que la razón de semejanza es 2.

Ejemplos:

4.- Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza.

a) 8 cm, 10 cm, 12 cm

b) 52 cm, 65 cm, 78 cm

Para determinar si son semejantes primero debemos buscar si todos los lados pares (lados: largo, mediano y corto) tienen la misma razón

52 / 8 = 6,5

65 / 10 = 6,5

78 /12 = 6,5

Como tienen la misma razón de semejanza que es 6,5, entonces decimos que los dos triángulos son semejantes, dado que sus lados son proporcionales.

5.- Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado? ¿Cuál es la razón de semejanza?

Si cada lado tiene una escala de 3:1, significa que un triángulo es tres veces mas grande que el otro, por lo tanto, multiplicaremos cada lado por 3.

3 x 3 = 9

4 x 3 = 12

5 x 3 = 15

Las medidas del nuevo triángulo es 9 cm, 12 cm y 15 cm respectivamente y su razón esta indicada desde que nos dieron el enunciado, ya que como se aumento 3 veces el valor ese mismo valor es la razón de semejanza, pero comprobémoslo con un lado simplemente 15/5 = 3, lo que comprueba lo que ya sabíamos.

6.- Comprueba si son semejantes los triángulos de la siguiente figura. ¿Cuál es la razón de semejanza?

Volvemos a realizar sus razones 18/6 = 12/4 = 21/7, te dejo para que concluyas…

III. Tercer criterio

Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí.

De nuevo tienes aquí dos triángulos en posición de Tales. Como puedes comprobar, el ángulo A es común a ambos triángulos y los lados que lo forman son proporcionales entre sí.

Ejemplos

7.- Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema).

8.- Los lados de un triángulo miden 40 y 50 centímetros, con un ángulo 30° que unen los dos lados. Los lados de un segundo triángulo miden 16 y 20 centímetros, con un ángulo de 30° que unen los dos lados. ¿Son semejantes?, En caso afirmativo, ¿cuál es la razón de semejanza?

Ya tenemos que los ángulos son iguales y equivalen a 30°, lo único que nos falta por demostrar es que los dos lados son semejantes, para ello calculemos sus razones:

40 / 16 = 2,5

50 / 20 = 2,5

Como la razón de semejanza es igual para ambos lados de 2,5, concluimos que porque los dos tienen dos lados proporcionales y un ángulo congruente de 30°, los dos triángulos son semejantes.

9.- Como tú mismo puedes comprobar, estos dos triángulos son semejantes. Los lados AB - DE, y BC - EF, son proporcionales entre sí. Los ángulos que comprenden, B y E, miden 90º cada uno de ellos. Halla la razón de semejanza y las dimensiones de los lados que faltan.